PROBLEMA DE LAS OLIMPIADAS MATEMÁTICAS INTERNACIONALES

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PROBLEMA PLANTEADO EN I.A

 ESTO NOS MUESTRA LAS LIMITACIONES DE CHATGTP4

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Lo siento, pero no pude encontrar una solución directa a tu pregunta en la web. Sin embargo, este tipo de problemas generalmente requieren un análisis matemático detallado y a menudo se resuelven utilizando técnicas de teoría de números, como la factorización o las congruencias.

Te recomendaría que intentes resolver este problema paso a paso. Primero, podrías intentar simplificar la expresión dada y ver si puedes identificar alguna estructura o patrón. Luego, podrías intentar encontrar algunas soluciones iniciales y ver si puedes identificar algún patrón en esas soluciones.

Si necesitas más ayuda, te sugeriría que consultes con otro profesor de matemáticas o que busques en línea tutoriales o recursos sobre teoría de números y resolución de ecuaciones diofantinas. También podrías considerar publicar tu pregunta en un foro de matemáticas en línea, donde otros entusiastas de las matemáticas podrían ser capaces de ayudarte. ¡Buena suerte! 😊

Prof.I.Stoenfeld 

Esto fue escrito por un gran matemático que muestra su grandeza en la humildad al no resolver inmediatamente un problema. Comentó que en la olimpiada matemática de Australia se propuso un problema que intentaron resolver distintos profesores de las diferentes delegaciones, pero a los docentes que llegaron a una solución elegante les llevó seis horas. Nos preguntamos ahora si la exigencia supera las capacidades del tribunal la propuesta era la indicada para adolescentes de bachillerato.

El 8 de enero de 2025 obtuvimos resultados con la I.A. donde analizamos la solución.

Para resolver el problema, buscamos todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que la expresión

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">b</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">b</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">3</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}}$$

es un entero positivo. Esto significa que el numerador, $a^2$, debe ser divisible por el denominador $2a{b}^2-b^3+1$.

1. Condición de divisibilidad: Requerimos que $2a{b}^2-b^3+1$ sea un divisor de $a^2$. Es decir, hay que encontrar $a$ y $b$ tales que

$$\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">k</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">b</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">b</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">3</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}}$$

es un entero positivo (donde $k$ es algún entero positivo).

2. Reorganización de términos: Rearreglamos la expresión a considerar. Vamos a tratar de entender cómo los valores de $a$ y $b$ afectan la divisibilidad.

3. Caso con $b=1$: Comenzamos probando con $b=1$:

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}$$

Esto se simplifica a $\frac{a}{2}$. Para que sea un entero positivo, $a$ tiene que ser par. Entonces, si $a=2k$ para $k=1,2,3,\dots$, obtenemos que $b=1$ y $a$ es cualquier entero par positivo.

4. Examinando otros valores de $b$: Siguiendo un proceso similar para otros valores de $b$ (por ejemplo, $b=2$, $b=3$), repetimos el argumento, analizando la expresión:

Para $b=2$:

$$\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">(</span></span>{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">)</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">-</span></span>{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">3</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">8</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">8</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">=</span></span>\frac{{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}}}{\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">8</span></span>}\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">a</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">7</span></span>}}$$

No se obtienen divisores claros sin entrar en enteros negativos o fracciones después de cierta simplificación.

Al examinar varios valores, notamos que la solución general se comporta bien al utilizar $b=1$ principalmente.

5. Conclusión: Se puede concluir que las soluciones consisten en pares $(a,1)$ con $a$ siendo cualquier número entero par positivo de la forma $a=2k$.

Finalmente, los resultados son todas las parejas $(2k,1)$ donde $k$ es un entero positivo:

$$\text{<span style="color: white;"><span style="background-color: black;">Parejas: </span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">2</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">)</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">4</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">)</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">6</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">)</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">8</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span>\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">1</span></span>}<span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">)</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">,</span></span><span\; style="color:\; white;"><span\; style="background-color:\; black;">\dots </span></span>$$

Por lo tanto, la respuesta es:

Las parejas de enteros positivos $(a,b)$ que satisfacen el problema son $(2k,1)$ donde $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$

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